互为反函数的函数图象间的关系练习题及答案参考
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1.点(3,5)在函数y=ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a、b的值分别为( )
A.a=-1,b=7 B.a=-1,b=-8 C.a=-1,b=8 D.以上都不对
答案：C
解析：由已知得点(3,5)和点(5,3)在直线y=ax+b上,
2.已知f(x)= 的图象关于直线y=x对称,则a的取值是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.0
答案：A
解析：由y= ,得x= ,故f-1(x)= ,因函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与其反函数f-1(x)为同一函数,易得a=-1.
3.如图,设函数y=1- (-10),则函数y=f-1(x)的图象是图中的( )
答案：B
解析：易知点(- ,1- )在原函数图象上,故(1- ,- )在其反函数图象上,首先排除A、C,又1-,故点(1- ,- )在直线x= 左边,排除D,选B.
4.(四川成都模拟)已知f(x)= ,且f-1(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则a的值为( )
A. B.2 C. D.3
答案：B
解析：f-1(x)= ,f-1(x-1)= ,其对称中心是(0,a+1),a+1=3 a=2.
5.已知函数f(x)存在反函数,若点(a,b)在f(x)的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的点是( )
A.(f-1(b),b) B.(a,f-1(a))
C.(f(a),f-1(b)) D.(f-1(b),f(a))
答案：C
解析：由(a,b)在y=f(x)图象上,则(b,a)在y=f-1(x)图象上,且b=f(a),则a=f-1(b).
6.设函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x)=(x-1)2(x1),则g(x)=____________.
答案：1- (x0)
解析：由已知得函数y=g(x)为y=f(x)的反函数,由y=(x-1)2(x1),得x=1- ,故g(x)=f-1(x)=1- (x0).
7.试求函数y=1+2x-x2(x1)和它的反函数的图象的交点.
解：由y=1+2x-x2(x1)求得其反函数为y=1+ (x2),
由
得1+2x-x2=1+ (12),
即2x-x2= ,
则x(2-x)= ,x( )2= ,
2-x=0或x =1.
x=2或x2(2-x)=1.
由x2(2-x)=1,得2x2-x3=1,
即(x2-1)+(x2-x3)=0,
(x-1)(x+1-x2)=0,
x=1或x= .
∵12,
x=2或x=1或x= .
y=f(x)和y=f-1(x)的交点有3个,分别是(1,2)、(2,1)、( , ).
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8.对于［0,1］上所有x的值,函数f(x)=x2与其反函数f-1(x)的相应函数值一定成立的关系式为( )
A.f(x)f-1(x) B.f(x)f-1(x)
C.f(x)f-1(x) D.f(x)=f-1(x)
答案：B
解析：结合f(x)与f-1(x)图象即得.
9.函数y=f(x)在［-1,2］上的图象如图所示,则f-1(x)x+1的解集为( )
A.［-1,0］ B.［0,1］
C.［-1,- ］ D.［-1,2］
答案：C
解析：由已知图象易得f(x)=
故f-1(x)=
(1)当01时,f-1(x)x+1 x-1x+ 1x .
(2)当-10时,f-1(x)x+1 -2xx+1 x- ,-1- .由(1)(2)知所求解集为［-1,- ］.
10.点P在f(x)=1+ 的图象上,又在其反函数的图象上,则P点的坐标为____________.
答案：(2,2)
解析：设点P的坐标为(a,b),
由已知 解得
11.函数y= (x-1)的图象与其反函数的'图象的交点坐标为_________________.
答案：(0,0),(1,1)
解析：由y= ,得x= .
由x-1,得 1,即y2.
其反函数为f-1(x)= (x2).
由 得
12.已知函数f(x)= ,
(1)求反函数f-1(x);
(2)研究f-1(x)的单调性;
(3)在同一坐标系中,画出f(x)与f-1(x)的图象.
解：(1)∵f(x)= =y,
x+5=y2,且y0.
x=y2-5.
则f(x)= 的反函数为y=f-1(x)=x2-5(x0).
(2)由二次函数的图象知当x0时,f-1(x)为增函数.
(3)图象如图所示.
13.已知函数f(x)=2x2-4x+1,x［-1,0］.
(1)求f-1(x);
(2)作出y=f(x)和y=f-1(x)的图象,并判断其单调性;
(3)解不等式:f-1(7x)f-1(x+1).
解：(1)设y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,
2(x-1)2=y+1.
∵x［-1,0］,x-1［-2,-1］.
x-1=- .
f-1(x)=1- ,x［1,7］.
(2)y=f(x)和y=f-1(x)的图象见图.
∵y=f(x)在［-1,0］上是减函数,
y=f-1(x)在［1,7］上是减函数.
(3)由(2)知y=f-1(x)在［1,7］上是减函数,
∵f-1(7x)f-1(x+1),
7x+11.解得 1,
即原不等式的解集为{x| 1}.
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14.已知函数f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点( )
A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3)
答案：A
解析：∵f(x)的图象过点(0,1),
f(0)=1,即f(4-4)=1.
f(4-x)图象过点(4,1).
f(4-x)的反函数图象过点(1,4).
15.设函数f(x)= ,已知函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则g(3)=______________.
答案：
解析：y=f-1(x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1,
故y=f-1(x+1)的反函数为g(x)=f(x)-1= ,则g(3)= .
16.已知函数f(x)= .
(1)证明函数f(x)在定义域上有反函数,并求出反函数;
(2)反函数的图象与直线y=x有无交点?
(1)证明:∵f(x)的定义域为正实数集,
当0x2时,f(x1)-f(x2)=( )-( )=( )(1+ )0.
f(x1)f(x2),即f(x)在(0,+)上是增函数.
f(x)有反函数.当x(0,+)时, (-,+).反函数的定义域为R.
由y= ,得x-y -1=0.
解得 = .∵y ,
y- 0.而 0,
= ,x= (y+ )2.
f-1(x)= (x+ )2(xR).
(2)解：y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称,故只需判断y=f(x)与y=x有无交点.
由 得x= .
x(1- )=1.
当01时,01.0x(1- )1,此时方程无实数根.
当x1时,x(1- )0,方程无实根.
y=f(x)与y=x无交点.
从而y=f-1(x)与y=x无交点.
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