函数和不等式专项训练题
一、选择题
1.(2014?北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是?( ).
A.y=e-x ?B.y=x3
C.y=ln x ?D.y=|x|
解析 依据函数解析式，通过判断定义域和单调性，逐项验证.A项，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求;B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求;C项，函数定义域为(0，+∞)，不符合要求;D项，函数定义域为R，但在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增，不符合要求.
答案 B
2.(2014?临沂一模)函数f(x)=lnxx-1+x12 的定义域为?( ).
A.(0，+∞) ?B.(1，+∞)
C.(0,1) ?D.(0,1)∪(1，+∞)
解析 要使函数有意义，则有x≥0，xx-1>0，
即x≥0，x?x-1?>0，解得x>1.
答案 B
3.(2014?江西卷)已知函数f(x)=a?2x，x≥0，2-x，x<0(a∈R)，若f[f(-1)]=1，则a=??( ).
A.14 ?B.12
C.1 ?D.2
解析 根据分段函数的解析式列方程求字母的取值.
由题意得f(-1)=2-(-1)=2，f[f(-1)]=f(2)=a?22=4a=1，∴a=14.
答案 A
4.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f(x)=??( ).
A.ex+1 ?B.ex-1
C.e-x+1 ?D.e-x-1
解析 与曲线y=ex图象关于y轴对称的曲线为y=e-x，函数y=e-x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
答案 D
5.(2014?山东卷)已知函数y=loga(x+c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是??( ).
A.a>1，c>1
B.a>1,0
C.01
D.0
解析 依据对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换求解.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0
答案 D
6.(2016?浙江卷)已知x，y为正实数，则?( ).
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y ?B.2lg(x+y)=2lg x?2lg y
C.2lg x?lg y=2lg x+2lg y ?D.2lg(xy)=2lg x?2lg y
解析 2lg x?2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故选D.
答案 D
7.(2014?安徽卷)设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则?( ).
A.b
C.c
解析 利用“媒介”法比较大小.∵a=log37，∴12.∵c=0.83.1，∴0
答案 B
二、填空题
8.已知f(x)=ln(1+x)的定义域为集合M，g(x)=2x+1的值域为集合N，则M∩N=________.
解析 由对数与指数函数的知识，得M=(-1，+∞)，N=(1，+∞)，故M∩N=(1，+∞).
答案 (1，+∞)
9.(2014?大纲全国卷改编)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=______________.
解析 由函数的奇偶性和对称性推出周期性，利用周期性求函数值.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
答案 1
10.(2014?新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex-1，x<1，x13， x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.
解析 结合题意分段求解，再取并集.当x<1时，x-1<0，ex-1
答案 (-∞，8]
11.(2016?济南模拟)已知函数f(x)=x3+x，对任意的m∈[-2,2]，f(mx-2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________.
解析 f′(x)=3x2+1>0，∴f(x)在R上为增函数.
又f(x)为奇函数，由f(mx-2)+f(x)<0知，f(mx-2)
令g(m)=mx+x-2，由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立，可得g?-2?=-x-2<0，g?2?=3x-2<0，∴-2
答案 -2，23
12.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对?x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，给出下列命题：
①f(2)=0;
②直线x=-4是函数y=f(x)图象的'一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-4,4]上有四个零点;
④f(2 014)=0.
其中所有正确命题的序号为________.
解析 令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，解得f(-2)=0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)=0，①正确;因为f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x)，f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x)，所以f(-4+x)=f(-4-x)，即x=-4是函数f(x)的一条对称轴，②正确;当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)=0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[-2,0]上也只有一个零点，由f(x+4)=f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,6]与[-6，-2)上也单调且有f(6)=f(-6)=0，因此，函数在[-4,4]上只有2个零点，③错;对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0，④正确.
答案 ①②④
三、解答题
13.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.
解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(-x，-y)是点P关于原点的对称点，因为Q(-x，-y)在f(x)的图象上，所以-y=loga(-x+1)，
即y=-loga(1-x)(x<1).
(2)f(x)+g(x)≥m，
即loga1+x1-x≥m.
设F(x)=loga1+x1-x，x∈[0,1).
由题意知，只要F(x)min≥m即可.
因为F(x)在[0,1)上是增函数，所以F(x)min=F(0)=0.
故m的取值范围是(-∞，0].
14.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)，F(x)=f?x?，x>0，-f?x?，x<0.若f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表达式;
(2)当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求k的取值范围.
解 (1)∵f(-1)=0，∴a-b+1=0，
∴b=a+1，
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.
∵f(x)≥0恒成立，
∴a>0，Δ=?a+1?2-4a≤0，
即a>0，?a-1?2≤0.
∴a=1，从而b=2，∴f(x)=x2+2x+1，
∴F(x)=x2+2x+1 ?x>0?，-x2-2x-1 ?x<0?.
(2)由(1)知，g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在[-2,2]上是单调函数，
∴k-22≤-2或k-22≥2，
解得k≤-2或k≥6.
所以k的取值范围是(-∞，-2]∪[6，+∞).
15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在，求出t;若不存在，请说明理由.
解 (1)∵f(x)=ex-1ex，且y=ex是增函数，y=-1ex是增函数，所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-x-ex=-f(x)，所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立
?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立
?x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立
?t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立
?t+122≤x+122min对一切x∈R恒成立
?t+122≤0?t=-12.
即存在实数t=-12，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
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