多项式函数及其根
给出多项式f∈R[x1,...,xn]以及一个R-代数A。对(a1，...，an)∈An，我们把f中的xj都换成aj，得出一个A中的元素，记作f(a1...an)。如此，f可看作一个由An到A的函数。
若然f(a1...an)=0，则(a1...an)称作f的根或零点。
例如f=x^2 1。若然考虑x是实数、复数、或矩阵，则f会无根、有两个根、及有无限个根！
例如f=x-y。若然考虑x是实数或复数，则f的零点集是所有(x,x)的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。
另外，若所有系数为实数多项式P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。
若P（x）有n个重叠的根，则P‘(x)有n-1个重叠根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有a是P’(x)的重叠根且有n-1个。
有理根定理应用
为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。 由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出合理的根，或者确定没有一个。 如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。