全国高中数学联赛模拟试题5及答案

全国高中数学联赛模拟试题5及答案

　　全国高中数学联赛模拟试题（五）

　　第一试

　　一、 选择题：（每小题6分，共36分）

　　1、空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个

　　结论

　　（1） 没有任何两个平面互相平行；

　　（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；

　　（4） 平面间的每一条交线均与n 2个平面相交． 其中，正确的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

　　2、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)

　　时，f(c)的近似值可表示为

　　（A）

　　f a f b

　　2

　　a b

　　（B）f

　　2

　　（C）

　　b c f a c a f b

　　b a（D）f a

　　c a

　　f b f a b a

　　3、设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则

　　（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关

　　x2y2 3

　　4、设椭圆2 2 1的离心率e ，已知点P 0, 到椭圆上的点的最远

　　2ab 2 7

　　，则短半轴之长b= 4

　　1111

　　（A） （B） （C） （D）

　　48216

　　5、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等

　　差数列．那么，这样的三元子集A的个数是

　　距离是

　　（A）C32003

　　22

　　（B）C1001 C1002

　　22

　　（C）A1001 A1002（D）A32003

　　6、长方体ABCD A1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关

　　二、 填空题：（每小题9分，共54分）

　　sin3 cos3

　　1、已知 k，则k的取值范围为 ．

　　sin cos 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个．

　　a

　　3、在四面体P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取

　　b

　　值范围为 ．

　　4、动点A对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 ． 5、 3k被8所除得的余数为 ．

　　k 12003

　　6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．

　　三、 （20分）

　　已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y

　　轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．

　　四、 （20分）

　　单位正方体ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M． （1）求证：AN、B1M为异面直线； （2）求出AN与B1M的夹角．

　　五、 （20分）

　　对正实数a、b、c．求证：

　　a2 8bcb2 8acc2 8ab

　　≥9．

　　abc

　　第二试

　　一、 （50分）

　　设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时， （1）证明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值．

　　二、 （50分）

　　给定由正整数组成的数列

　　a1 1,a2 2

　　（n≥1）．

　　an 2 an 1 an

　　（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点

　　(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…

　　均在曲线x2+xy y2+1=0上．

　　（2）若设f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，证明：g(x)整除f(x)．

　　三、 （50分）

　　我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果 （1）A1 A2 An A； （2）Ai Aj ，1≤i＜j≤n．

　　求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b

　　9

　　满足b＜a≤b．

　　8

　　参考答案

　　第一试

　　二、填空题：

　　1 1

　　1、 1, ,1 ；

　　2 2

　　2、17；

　　2

　　x 1 4、

　　3、 2 3,1 ；

　　5、4；

　　4

　　y2

　　1； 3

　　6、117600．

　　l2 l2

　　,0 ,0 l 2p,M 8p8p

　　三、 ．

　　l ppl l p,l 2p,M 2

　　2,2 p 2

　　四、（1）证略；

　　五、证略．

　　（2）arccos

　　2． 3

　　第二试

　　一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1．

　　二、证略（提示：用数学归纳法）．

　　三、m=117．

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