千年轮回只为证明你的直觉
千年轮回只为证明你的直觉
我都觉得这个题目太具有文艺范儿了，搞得像白蛇传一样……数学史上的故事，虽没白蛇传那么荡气回肠，却也激动人心，特别当我们这种千年后人回顾这些事。今日要介绍的，就是围绕在著名的希波克拉底月牙定理的种种故事。一切长话短说了。
一：数与形的竞争
古人从现实生活中逐渐提炼出基本的数学概念，并且这些概念结论什么的逐渐分成两大阵营——几何与算术。这两门学科不像现在那般相互促进，而是在相互竞争——谁管用就信谁，跟中国人信神一样。当几何中有了新的发现，几何便占据优势，算术渐被多数人忽视；而当算术有了新的发现，算术又取代几何的位置成为主流。
二：毕氏学派和几何的胜出
毕达哥拉斯学派大概是以著名的毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理）而让我们熟知。实际上这只是毕氏学派在几何中的一大贡献而已，他们在算术中的思想往往被我们忽视——大概是这种思想被证明是一种荒谬之故——“万物皆数”，关于这种思想的具体介绍我就不赘述了，网上一搜一大把。我们应该提起这种思想是想让大家知道，毕氏学派一开始是在几何与算术两大阵营都有建树的，并无偏颇一方之意。但“成也萧何，败也萧何”，毕氏学派因该定理流传千古，也因该定理毁了自己的思想根基——正是因为毕达哥拉斯定理导致了“无理数”的发现。这对毕氏学派来说是灾难性的，对人类来说却是一大喜事。
然而不可公度数的发现，并没有引导人们去进一步研究数的性质，反倒让人们对算术失去了信心，就从这个节骨眼开始，几何对算术的优势一直支配着希腊，足有一千多年。
三：对面积的痴迷，对美和秩序的追求
古希腊人被几何的对称性，视觉美和微妙的逻辑结构吸引住了，尤其是化繁为简的处理方式，即以简单和基本的东西作为复杂和纷繁问题的处理基础。
如果要从大自然中体验到一种几何体，那么最常见的莫过于直线和圆了，对直线和圆的痴迷，使得直尺和圆规成为了几何作图的核心工具（至少在希腊是如此），而直尺和圆规的实用性反过来增进了直线和圆在希腊几何学中的地位。
对几何中美和对称性的追求，希腊人开始研究起面积，其本意我猜测是想把描述平面图大小的量转化成简单的正方形。面对着一般图形求面积的困难，在希腊人心中就萌发“用一个正方形面积取代一个平面图形的面积”的想法，因为如果能实现，那么规则对称的正方形替换了不规则不对称的平面图形，这是一种以对称取代不对称，以完美取代不完美，以有理性取代无理性的过程，也是宇宙所固有的简约和美的象征。
四：直边图形的遗憾，月牙定理的“曙光”
凭着古希腊人得才华，人们已经能仅凭“尺规作图”，用正方形的面积表示任何“直边图形”的面积，但曲边图形却遇到了困难。人们起初怀疑这种方案的可行性，因为直觉认为尺规不能将曲边拉直。然而希波克拉底带着他的月牙定理，让众人看到了“化曲为直”的希望。如下图所示，很容易证明图中的两个阴影部分的面积是一样的（证明过程网上诸多）。该定理一面世便引起轩然大波，太提神了！一个曲边图形的面积就这样化成了一个直边图形，这位那些一心想寻找化曲为直的数学家来说实在是太振奋人心。有传言称希波克拉底个人都据此宣称他已经解决化圆为方问题，在后来的辛普利西乌斯的转述中提到所谓的“化圆为方”问题解决办法。后来证实这是错误的——作者错误地将此月牙推广到任意月牙，实际上直到20世纪，才由数学家们证明仅存在五种月牙形能用正方形来表示面积。当然这是后话，不管是非如何，月牙定理确实激起了大家对化圆为方问题的兴趣，而且他们如此着迷，一做就是两千多年……
五：千年后的终结
两千多年来，尽管无数的科学家为几大几何作图问题费尽心思却仍未有任何突破，但人们始终相信，这些都只是数学家们的能力不够而已。直到1882年，德国的费迪南德·林德曼证明了该问题的不可能性——根本原因就在于圆周率π的超越性，这个问题才算得到了圆满的解决。
回顾整个历史的发展过程，当人们最初提到用尺规化圆为方时，人们直觉认为这是不可能的，但是月牙定理颠覆了直觉，而后，林德曼等人的否定结论表示，直觉并非都错——对于化圆为方问题来说，直觉永远都是对的。历经千年，只为证明人们的直觉。当然，历经千年的洗礼，虽然最终回归到了直觉，但我们的思维，早已超越。
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