全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)?x2?ax?b满足f(a)?f(b)，则f(2)的值为2.若实数?满足cos??tan?，则1?cos4?的值为sin?
3.已知复数数列{zn}满足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,3,?)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含
点B）的动点Q满足DP?BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA?PQ的最小值为
5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为
6.在平面直角坐标系xOy中，点集K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所对应的平面区域的面积为
7.设?为正实数，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，则?的取值范围是
8.对四位数abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)，若a?b,b?c,c?d，则称abcd为P类数，若a?b,b?c,c?d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)?N(Q)的值为??
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a?4b?2c,4a?2b?4c，求c的最小值.
10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得
31??aa1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值.?ij??28??
x2
11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点，2
设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.
2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、（本题满分40分）设a1,a2,?,an(n?2)是实数，证明：可以选取?1,?2,?,?n??1,?1?，使?????n2?得??ai?????iai??(n?1)??ai?.?i?1??i?1??i?1?
二、（本题满分40分）设S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n个互不相同的有限集合
（n?2），满足对任意的Ai,Aj?S，均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.证明：存在x??Ai，1?i?ni?1nn2n2使得x属于A1,A2,?,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X的元素个数）.k?上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，?ABC内接于圆O，P为BC
BK平分?ABC，过K,P,C三点的圆?与边AC交于D，连接BD交圆?于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：?ABC?2?FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）
四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：
(kn)!对任意正整数n，2(k?1)n?1不整除.
n!
高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦
高中数学联赛基本知识集锦
一、三角函数
常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：
半角公式
sin?
2??1?cos2
cos?1?cos?
2??2
tan?1?cos?
2??1?cos??1?cos?sin?
sin??1?cos?
积化和差
sin?cos??1
2?sin??????sin??????
cos?sin??1
2?sin??????sin??????
cos?cos??1
2?cos??????cos??????
sin?sin???1
2?cos??????cos??????
和差化积
sin??sin??2sin???
2cos???
2
sin??sin??2cos??????
2sin2
cos??cos??2cos??????
2cos2
cos??cos???2sin??????
2sin2
万能公式
sin2??2tan?
1?tan2?
1?tan2
cos2???
1?tan2?
tan2??2tan?
1?tan2?
三倍角公式
sin3??3sin??4sin3??4sin60???sin?sin60???
cos3??4cos3??3cos??4cos60???cos?cos60???
二、某些特殊角的三角函数值
????????
三、三角函数求值
给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去
举个例子
2?4?6??cos?cos777
2?提示：乘以2sin，化简后再除下去。7求值：cos
求值：cos10??cos50??sin40?sin80?
来个复杂的
设n为正整数，求证22?sin
i?1ni?2n?1?2n?12n
另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲
四、三角不等式证明
最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinx?x?tanx；还有就是正余弦的有界性。例
求证：x为锐角，sinx+tanx<2x
设x?y?z??
12，且x?y?z??
2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。
注：这个题目比较难
数列
关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。?
1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法
注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。
①an?1?pan?q
若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，
若p≠1，则两边同时加上qq，变为an?1??p?1p?1?q?p?a??np?1????
显然是以a1?q为首项，p为公比的等比数列p?1
②an?1?pan?f?n?，其中f(n)不是常数
若p=1，则显然an=a1+?f?i?，n≥2
i?1n?1
若p≠1，则两边同时除以pn+1，变形为an?1anf?n???n?1nn?1ppp
n?1ana1n?1f?i?f?i??n?1?利用叠加法易得n???i?1，从而an?p?a1??i?pi?1ppi?1p??
注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：an?1?a?an?bc?an?d
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令x?a?x?b2，即cx??d?a?x?b?0，c?x?d
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有
11??pan?1?x1an?x1
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=
若x1≠x2则有2ca?d
an?1?x1a?x1?q?n
an?1?x2an?x2
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=a?cx1a?cx2
(3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。
①an?2?pan?1?qan
特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2
nn则其通项公式为an?A?x1，A、B用待定系数法求得。?B?x2
②an?3?pan?2?qan?1?ran
特征方程为x3=px2+qx+r，令其三根为x1，x2，x3
nnn则其通项公式为an?A?x1，A、B、C用待定系数法求得。?B?x2?C?x3
注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。
(4)数学归纳法
简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。
(5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的.东西，看看下面的例子
an?1?2an21?an
看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。
注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。
例
数列?an?定义如下：a1?2，求?an?通项2，an?1?2?4?an
注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。
(6)迭代法
先了解迭代的含义
f0?x??x，f1?x??f?x?，f2?x??f?f?x??，f3?x??f?f?f?x???，??
f右上角的数字叫做迭代指数，其中f
再来了解复合的表示?n?x?是表示fn?x?的反函数
f?g?x??f?g?x??，f?g?h?x??f?g?h?x???
如果设F?x??g?1?f?g?x?，则Fn?x??g?1?fn?g?x?，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。
而在数列中我们可以将递推式看成an?1?F?an?，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。
练习
?an?满足a1?1，a2?2，a2n?1?已知数列a2n?a2n?1，a2n?2?a2n?1a2n，试求数列的2
通项公式。
注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。
下面是我的一个原创题目
已知数列?an?满足a1?0，a2?1，an?1?n??an?an?1?，求该数列的通项公式。
2数列求和
求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔（Abel）恒等式
有多种形式，最一般的是
?ab??S?bkkk
k?1k?1nn?1k?bk?1??Snbn
其中Sk??a
i?1kk
注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。
高中数学联赛篇三：2014全国高中数学联赛试题
2014全国高中数学联赛试题
一、填空题
1、若正数a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),则
11
?的值为__________ab
2、设集合{?b|1?a?b?2}中的最大值与最小值分别为M,m，则M?m=_________3、若函数f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上单调递增，则a的取值范围为_______4、数列{an}满足a1?2,an?1?
3a
2(n?2)a2014
an(n?N?)，则=_________n?1a1?a2?...?a2013
5、已知正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是_____________
6、设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且
3|PF1|?4|QF1|，则椭圆?的短轴与长轴的比值为__________
7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足PI?1，则?ABC与
?APC的面积之比的最大值为__________8、设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以
1
的概率在每对点之间连一条边，任意两点之2
间是否连边是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________
二、解答题
P是不在x轴上一个动点，9、平面直角坐标系xOy中，满足条件：过P可作抛物线y?4x
的两条切线，两切点连线lP与PO垂直。设直线lP与PO，x轴的交点分别为Q,R，（1）证明：R是一个顶点（2）球
2
|PQ|
的最小值|QR|
10、数列{an}满足a1?
?
,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整数m，使得
6
sina11sina2......sianm?
100
11、确定所有的复数?，使得对任意的复数z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2
|z1|,|z2|?1,z1?z2），均有
（
2014全国高中数学联赛二试
一、（本题满分40分）设a,b,c?R，满足a?b?c?1，abc?0，
求证：bc?ca?ab?
abc1
?24
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