初中数学概念PCK内涵解析与实施方法论文
摘 要：教学实践表明，课堂教学的有效性离不开教师的引导，教师引导的有效性决定于教师的专业水平。根据初中数学概念教学的地位和特点，结合 PCK 内涵的四个组成部分进行数学概念的 PCK 内涵解析，能帮助教师深刻理解概念本质、认识概念教学的学科教育价值，能够理解学生的经验与困难，可以进一步阐释概念的本质属性，发展学生的数学素养，设计恰当的教学策略，可以提升概念教学的有效性。
关键词：初中数学概念教学；PCK 内涵解析；数学概念 PCK 内涵。
一、初中数学概念教学的意义及一般方法。
（一）初中数学概念教学的意义。
概念是事物本质属性在人脑中的反映，是思维的基本形式之一，是进行判断和推理的基础。数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，是形成数学知识体系的基础，是数学思想方法的重要载体。而数学概念教学的意义不仅在于让学生掌握数学概念本身，更重要的是在获得概念本质属性的过程中，通过观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等数学活动，发展学生的推理能力、抽象思维，体会数学的思想方法，促进学生的数学学科素养的发展。因此，数学概念的教学对数学学科和学生发展都有重要的意义。
（二）初中数学概念教学的一般方法。
在初中数学课程中，概念众多，南京师范学院的章飞教授就概念教学实施的角度，将概念分成 3 类（对象性概念、度量性概念、观念性概念），其中的对象性概念是教学的重点之一。对象即数学的研究对象，如各种数、各种式、各种图形的概念。概念教学的过程一般要经历：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的获得（揭示概念本质属性的过程）；三是概念的巩固与运用（了解概念的运用，在运用中进一步理解、巩固概念）三个过程。其中概念的获得最重要，它主要有两种基本形式---概念的同化和概念的形成（具体见图 1、图 2）。
从图中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通过教师的讲解、解释，学生逐步明确概念的内涵；通过运用变式的材料和例证，学生明确概念的外延。“概念的形成”是经历对具体特殊实例的特征的归纳、类比，检验后明确概念的本质属性；给出定义并用常用的形式符号表示概念。这就要求学生经历一个对概念本质属性的抽象过程，在此过程中发展学生的抽象思维、推理能力、符号意识、模型思想等，并使学生逐步形成数学的学科观念。
可见，不管采用哪种方式，教师都必须准确、深刻地理解概念的本质属性，了解概念的内涵外延，有清晰、完整的概念结构体系。同时，要了解不同概念适用哪种概念获得的方式。这就依靠教师对概念本身的理解，并设计出有效的概念教学策略。如果教师对概念本质属性的理解有偏差，对概念体系的认识不完整，对概念承载的数学教育价值不明确，那么，不论采取了怎样的课堂模式和教学策略，都不能够达成概念教学应有的目标，也就不能体现概念教学的意义。
二、进行初中数学概念 PCK 内涵解析的作用。
（一）运用 PCK 内涵解析进行概念教学可以进一步阐释概念的本质属性。
经过十多年的新课程改革实验，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》倡导的教学理念已经逐步转化为教学行为，在概念教学中，教师一般都能让学生经历概念形成的过程，很少出现“一个定义、几项注意”的概念教学方式。但是，在“引导学生探究概念本质属性”的过程中，却屡屡出现对本质属性理解不准确的问题。尤其是，初中数学教材中很多概念的定义是用“形式化定义”或“发生式定义”方式给出的，其定义并没有揭示了概念的本质属性。在这些概念的教学中，教师就更容易出现将“形式化定义”作为概念本质属性的现象，在课堂上反复进行针对定义的辨析，而忽略引导学生体会概念所蕴含的丰富的问题情境、思想方法，使概念教学缺少了应有的教育价值。这样，既不能使学生深刻理解概念，也不能通过概念教学的过程发展学生的数学能力。例如，在“方程概念”的教学中，有些教师认为“方程”概念的本质属性是“含有未知数的等式”,由此可见，在课堂上让学生大量进行“判定下列各式是不是方程”的训练，使方程概念的教学成为辨析形式化定义的刻板过程，不能体现方程概念的教育价值。其实“方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”,其本质是：建立已知、未知之间的联系，并借助已知求量求出未知量，继而解决问题“.在方程概念的学习中，学生应经历”用方程刻画不同情境中的等量关系的过程“,抽象出”本质属性“,并体会”方程是刻画现实世界数量关系的重要模型“这一思想，以发展学生的抽象思维和模型思想，体现数学学科概念教学的价值。
（二）进行初中数学概念 PCK 内涵解析可以有效发展学生的数学素养。
正确理解概念的本质特征是教师进行数学概念教学的必要前提，是通过概念教学发展学生学科素养、体现概念教育价值的保证。那么，在概念教学中怎样才能避免出现以上问题，从而体现概念教学的价值呢？
如二次函数概念的学习，有利于发展学生”数学抽象“的核心素养，发展符号意识。抽象是数学最本质的特征之一，也是数学最基本的思想之一。在二次函数概念教学时，学生将经历从丰富的实际问题中建立出函数关系式，然后分析所得到的函数关系的特点，抽象出共性特征，从而建立二次函数的'概念。在这个过程中，学生最主要的思维活动就是”抽象“,因此，合理设计二次函数概念的教学将有利于发展学生”数学抽象“的核心素养，同时在建立二次函数一般形式的过程中发展学生的符号意识。
再如，二次函数概念的教学，有利于发展学生”数学建模“的核心素养，体会数学应用的广泛性。二次函数在军事、体育、物理、心理、建筑等现实世界中都有广泛应用，是一种重要的”数学模型“.在二次函数概念的学习中，学生需要分析不同情境中变量关系与变化规律，建立变量之间的函数关系式，这个过程就是”建模“.
二次函数概念教学这一重要概念的教育价值还体现在”过程与方法“层面。对于学生而言，获得二次函数概念的过程是”从特殊到一般再到特殊“的认识事物的过程，而二次函数所刻画的问题的复杂性，更实现了学生研究函数问题经验与方法的进一步的积累与提升。
由引可见，对一个概念的”PCK 内涵“作透彻解析，可以帮助教师深入理解所教概念的本质，了解这一概念与其他内容的联系，获得概念教学目标中的知识技能目标。能够帮助教师理解数学内容蕴含的数学思想方法、使学生在学习该知识的过程中能够发展其数学素养、形成学科观念。
三、初中数学概念 PCK 内涵解析的认识与实施的方法。
（一）PCK 内涵解析的认识。
PCK 即学科教学知识，是 Pedagogical ContentKnowledge 的简称，1986 年由美国的舒尔曼教授最先提出，将其定义为”特定教学内容与教学法的整合与转换，是教师独特的知识领域，是他们专业理解的特殊形式“.通俗地说，就是”使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式“.
1990 年，格罗兹曼作为舒尔曼理论的继承者，将PCK 内涵分成四个部解：一是教师关于一门学科教学目的的统领性观念---关于学科性质的知识、关于学生学习哪些重要内容的知识或观念；二是关于学生对某一课题理解和误解的知识；三是关于课程和教材的知识，它主要指关于教材和其他可用于特定主题教学的各种教学媒体和材料的知识，还包括学科内容与其他知识之间的横向和纵向联系的结构的知识；四是特定主题教学策略和表征的知识。
（二）初中数学概念 PCK 内涵解析的方法。
根据 PCK 内涵的四个方面，结合数学概念教学的一般过程，进行数学概念 PCK 内涵解析的具体步骤如下：一是解析数学概念的本质属性及教育价值；二是解析概念与其他概念的联系；三是解析学生学习概念的经验与困惑；在三项解析的基础上，设计概念教学的策略，概念教学解析的作用在于，解析对确定教学目标、设计教学策略有决定性的作用，解析准确透彻，目标会具体明确，策略也就具有针对性。
1.解析数学概念的特征。
首先，要解析数学概念的内涵，即要指出”概念的内涵（本质属性）、外延、定义、数学符号表示（图形）、概念的作用“;这项分析能够使教师明确概念对应的”知识技能教学目标“.其次，要解析概念的教育价值，即要指出”概念蕴含的数学思想方法、获得概念的过程中能够发展的数学能力、形成的学科观念、发展的学科基本素养；这项分析能够使教师获得本概念对应的“过程性教学目标”.再次，要明确《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对此概念的要求，分解出课程标准要求的概念的各要素及其应达到的水平，然后写出概念教学的三维教学目标。解析概念的本质属性和教育价值，决定了本节教学目标的确定，实质上，也就决定了教学策略的选择与设计的方向。
例如，反比例函数的概念教学中，反比例函数的定义是形式化定义：“一般地，若两个变量 x、y 之间的对应关系可以表示成 y=kx（k 是常数，k≠0）的形式，则称 y 是 x 的反比例函数”.显然，定义是对其函数关系式的一般特征的描述，只是反比例函数概念描述的两个变量变化规律：在变化的过程中，两个变量 x,y 的乘积一定，即 xy=k.正因为其两个变量乘积一定的本质，才使得其具有 y=kx的形式。其外延是：一切具有 y=kx（k≠0）形式的函数或一切具有乘积一定的变量关系的函数是反比例函数。其数学符号表示可以有三种形式：表达式、图象和表格；其作用是：分析现实情境中的数量关系，建立反比例函数模型后，利用反比例函数的表达式和图象、性质可以解决相应的实际问题。
反比例函数概念的教育价值是要抽象出反比例函数概念的本质属性，其教学的过程应该是从情境出发，抽象模型。抽象分两个角度，一是用表达式描述各个情境中的变量关系，从表达式的共同特征获得 y=kx的形式特征；二是用表格表示各个情境中的变量关系，让学生体会变量之间乘积一定的相依变化关系。在这样的学习过程中，教师应注意发展学生的分析能力和符号意识；同时，要对不同情境下的变量关系（表格和表达式）进行观察、比较、分析、归纳。反比例函数是一个观念性概念，建立概念的过程，也是让学生形成观念的过程，即在研究问题中分析出具有两个变量乘积一定的规律时，就能够有建立反比例函数模型的意识和观念，并借此解决实际问题。
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对反比例函数概念的要求是：“结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式”.这一要求与概念内涵解析的结果具有一致性：反比例函数的意义即概念的本质，包括表达式和变化规律；要求在“具体情境中体会”就要有抽象本质、建立模型的过程，确定反比例函数的表达式则是在理解概念基础上的技能。基于上述分析，可以确定反比例函数概念的教学目标是：经历从现实情境中抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数所描述的变化规律，能说出反比例函数的定义并能确定其表达式；在抽象反比例函数概念的过程中，发展符号意识、推理能力和抽象思维，体会数学建模的必要性。反比例函数概念教学的主干思路是提供问题情境，让学生用表达式和表格两种形式表示其中的变量关系---对两种形式表示的变量关系进行观察、比较、分析，归纳其共同特征，抽象概念的本质（表达式和乘积一定的变化规律），得到其形式化定义，明晰概念---进行概念辨析、举出概念的正例和反例---确定表达式。
反比例函数概念的教学策略是：设置三个贴近学生生源的问题情境，并让学生分析这些问题情境。让学生用表格表示问题情境中的变量关系，然后回答以下问题：
（1）两个变量的关系是不是函数关系？
（2）当自变量均值变化时，因变量是否呈现均值变化的规律？因变量随自变量的变化有什么规律？
（3）用表达式表示两个变量的关系。之后，教师要帮助学生抽象概念的本质属性，引发学生思考：
（1）以上三个问题情境中，变量的变化规律有什么特征？
（2）它们的表达式在形式上有什么共同特征？
在这个过程中，学生在问题的引导下经历“问题情境 - 建立模型-解释、应用”的过程，发展抽象思维与推理能力，体会模型思想。
2.解析概念与其他概念的联系。
解析概念与其他概念的联系时，一是要分析概念所在的概念体系，明确地画出概念体系结构图；二是要分析此概念与其他概念间的横向联系和纵向联系及其研究方法之间的关系。这一分析过程，为设计教学策略提供重要的依据，尤其是在“引入”概念这个环节中，分析能够让学生体会研究新概念的必要性，并获得研究思路。
例如，因式分解的概念与其他概念联系解析如下：
横向联系：因式分解是将多项式化成整式的乘积形式，是研究分式的化简、运算的工具，在分式的通分、约分中，常常需要把分子、分母中的多项式化成乘积形式，以便运用分式的基本性质进行化简。
纵向联系：从小学阶段的分解质因数到初中阶段的分解因式。小学学过的分解质因数与初中的分解因式具有类似的作用，前者是为了研究分数的通分、约分，需要把一个整数化成几个因数的乘积形式；而后者是为了研究分式的通分、约分，需要把一个整式化成积的形式，反映出从“数”到“式”的发展过程。
根据上述分析，在引入“因数分解”的概念时，可以采用从“数”到“式”的类比，指出引入“因式分解”的概念的必要性，促进概念的形成。
3.解析学生学习概念的难点。
教师要突破概念学习的难点解析学生学习概念的经验与困惑时，这个解析越具体、越有价值。具体的分析能够“突破难点”具有很强的针对性，有利于促进目标的达成。
例如：学习反比例函数概念的经验与困惑分析。
经验：学生在学习“变量之间的关系”时，通过大量实例体会变量之间的关系，并会用表格、图象、表达式表示变量间的关系；能理解用符号（表格、图象、表达式）表示的变量关系，并借助这些符号研究变量变化的对应关系和变化趋势；通过一次函数概念的学习，积累了探究一次函数概念时，既关注抽象表达式的共同特征，又注重用表格体会变量间均值变化的规律的活动经验，有助于抽象反比例函数的概念。
困惑：首先，学生容易发现表达式具有的共同特征，但不容易理解“两个变量的乘积一定”的变化规律；其次，在抽象出函数概念本质时，提供的现实情境往往会让学生认为“一个变量增大而另一个变量减小”是反比例函数的本质属性，因此排除这一非本质属性是学生认识的一个难点。基于上述分析设计的教学策略是：
对第一个困惑，前文已给出具体的策略。即设计几个问题情境，通过用表格表示变量关系，让学生在观察、分析中体会“乘积型”的变化规律，然后抽象表达式的共同特征，可以获得概念本质，这里用“表格”来表征问题情境中两个变量的关系，最关键的策略。
对于学生认为“一个变量总随着另一个变量增大而减小”是反比例函数本质属性的问题，可以给出一个y 随 x 的增大的反比例函数如下表。
让学生思考：以上变量 y 随 x 的增大怎样变化？这个例子可以让学生体会：当 x 从 -5 到 -1 的不断增大的过程中，y 也从4/5到 4 在不断地增大，即比例中的 y并不是随着 x 的增大而减小，其本质是“x 与 y 的乘积不变”,这样，学生就能排除“反比例函数是一个变量随着另一个变量的增大而减小”这一非本质属性，获得概念的本质：两个变量的乘积一定。
由此可见，在概念学习中，对学生困难的具体分析，是获得突破难点的教学策略的重要依据。
教学策略设计与前三项分析有良好的针对性，概念形成方式的选择也决定于前三项分析的结果。其中，第一项分析---概念本质属性和教育价值分分析，是PCK 内涵分析的核心，这一分析决定了概念教学的出发点和落脚点，给出了概念教学的方向，基本决定了获得概念的方式，也在很大程度上决定了概念教学的过程能否体现这个概念承载的学科素养的发展和知识技能的落实，对整节课的教学效果有着决定性的意义。第二项分析---概念的前后联系的分析，能帮助教师体会引入概念的必要性，能让教师看到概念结构体系，从而设计帮助学生获得概念体系的策略，对概念的理解巩固有重要意义。第三项分析---学生学习概念的经验和困惑的分析，则能帮助教师有针对性地设计突破难点的教学策略，使得教学具有明显的针对性，对提高课堂的有效性有不可低估的作用。
总之，在概念教学设计时，对数学概念进行深刻的PCK 内涵解析，是提高概念教学的有效性，使学生在概念学习中能够提高分析能力、发展学科素养的一个有效措施，值得我们进一步研究。
参考文献：
〔1〕杨小丽，我国学者关于数学学科的 PCK 研究综述及对教师培训的启示〔J〕。北京教育学院学报，2010,（6）。
〔2〕章 飞，数学教学设计的理论与实践〔M〕。南京：南京大学出版社，2009.
〔3〕苏耀忠，石颐园。从 PCK 内涵的角度解析“函数概念”的教学〔J〕。教育理论与实践，2015,（11）。
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