《垂直于弦的直径》的课程教学设计

时间:2021-06-17 15:56:51 教学设计 我要投稿

《垂直于弦的直径》的课程教学设计

  第一课时 (一)

《垂直于弦的直径》的课程教学设计

  教学目标 :

  (1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;

  (2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

  (3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱。

  教学重点、难点:

  重点:

  ①垂径定理及应用;

  ②从感性到理性的学习能力。

  难点:垂径定理的证明。

  教学学习活动设计:

  (一)实验活动,提出问题:

  1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。

  2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题。

  通过演示实验观察感性理性引出垂径定理。

  (二)垂径定理及证明:

  已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CDAB,垂足为E。

  求证:AE=EB, =, =。

  证明:连结OA、OB,则OA=OB。又∵CDAB,直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合, 、 分别和 、 重合。因此,AE=BE, =, =。从而得到圆的一条重要性质。

  垂径定理:平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

  组织学生剖析垂径定理的条件和结论:

  CD为⊙O的直径,CDAB AE=EB,

  为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:

  ①过圆心;

  ②垂直于弦;

  ③平分弦;

  ④平分弦所对的优弧;

  ⑤平分弦所对的劣弧。

  加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混。

  (三)应用和训

  例1、已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。

  分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OEAB于E,而AE=EB= AB=4cm。此时解Rt△AOE即可。

  解:连结OA,作OEAB于E。

  则AE=EB。

  ∵AB=8cm,AE=4cm。

  又∵OE=3cm,

  在Rt△AOE中,

  (cm)。

  ⊙O的半径为5 cm。

  说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

  关系:r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2

  例2、 已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证AC=BD。(证明略)

  说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成。

  练习1:教材P78中练习1,2两道题。由学生分析思路,学生之间展开评价、交流。

  指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距。

  (四)小节与反思

  教师组织学生进行:

  知识:

  (1)圆的轴对称性;

  (2)垂径定理及应用。

  方法:

  (1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;

  (2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距;

  (3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足

  ①过圆心;

  ②垂直于弦;则可得

  ③平分弦;

  ④平分弦所对的优弧;

  ⑤平分弦所对的劣弧。

  (五)作业

  教材P84中11、12、13。

  第二课时 (二)

  教学目标 :

  (1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;

  (2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力。促进学生创造思维水平的发展和提高

  (3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系。

  教学重点、难点:

  重点:

  ①垂径定理的两个推论;

  ②对推论的探究方法。

  难点:垂径定理的推论1。

  学习活动设计

  (一)分解定理(对定理的剖析)

  1、复习提问:定理:平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧。

  2、剖析:

  (教师指导)

  (二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)

  (包括原定理,一共有10种)

  (三)探究新问题,归纳新结论:

  (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧。

  (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧。

  (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

  (4)圆的两条平行线所夹的弧相等。

  (四)巩固练习:

  练习1、平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧这句话对吗?为什么?

  (在推论1(1)中,为什么要附加不是直径这一条件。)

  练习2、填空:在⊙O中,

  (1)若MNAB,MN为直径,则________,________,________;

  (2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;

  (3)若MNAB,AC=BC,则________,________,________;

  (4)若 =,MN为直径,则________,________,________。

  (此题目的:巩固定理和推论)

  (五)应用、反思

  例、四等分 。

  (A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)

  教材P80中的第3题图,是典型的错误作。

  此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解。培养学生的思维能力。

  (六)小结:

  知识:垂径定理的两个推论。

  能力:

  ①推论的研究方法;

  ②平分弧的作图。

  (七)作业 :

  第三课时

  垂径定理及推论在解题中的应用

  教学目的:

  ⑴要求学生掌握垂径定理及其推论,会解决有关的证明,计算问题。

  ⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识。

  ⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

  教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用

  教学难点 :如何进行辅助线的添加

  教学内容:

  (一)复习

  1垂径定理及其

  推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:

  ⑴ 直线过圆心 ;

  ⑵ 垂直于弦 ;

  ⑶ 平分弦 ;

  ⑷ 平分弦所对的优弧 ;

  ⑸ 平分弦所对的劣弧。可简记为:知2推3

  推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

  2应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)

  涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系:r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2

  3常添加的辅助线:(学生归纳)

  ⑴ 作弦心距 ;

  ⑵ 作半径 。——————构造直角三角形

  4可用于证明:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据。

  (二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)

  例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的`桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米)。

  说明:

  ①对学生进行爱国主义的教育;

  ②应用题的解题思路:实际问题(转化,构造直角三角形)数学问题。

  例2、已知:⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ,AB =6 ,CD =8 。求:AB与CD间的距离。(让学生画图)

  解:分两种情况:

  (1)当弦AB、CD在圆心O的两侧

  过点O作EFAB于E,连结OA、OC,

  又∵AB∥CD,EFCD。(作辅助线是难点,学生往往作OEAB,OFAB,就得EF=OE+OF,错误的结论)

  由EF过圆心O,EFAB,AB =6,得AE=3,

  在Rt△OEA中,由勾股定理,得

  同理可得:OF=3

  EF=OE+OF=4+3=7。

  (2)当弦AB、CD在圆心O的同侧

  同(1)的方法可得:OE=4,OF=3。

  说明:

  ①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形分析图形数形结合解决问题;

  ②培养学生作辅助线的方法和能力。

  例3、 已知:AB是⊙O的弦,半径OC∥AB ,AB=24 ,OC =15 。求:BC的长。

  解:(略,过O作OEAE于E ,过B作BFOC于F ,连结OB。BC =)

  说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系。

  (三)应用训练:

  P8l中1题。

  在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后。截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度。

  学生分析,教师适当点拨。

  分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决。

  (四)小结:

  1 垂径定理及其推论的应用注意指明条件。

  2 应用定理可以证明的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用。

  (五)作业 :教材P84中15、16题,P85中B组2、3题。

  探究活动

  直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CEMN于E,DFMN于F,OHMN于H。

  (1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由。

  (2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?如果不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由。

  (答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立。CE、DF、OH之间应满足)

【《垂直于弦的直径》的课程教学设计】相关文章:

垂直于弦的直径教学设计12-19

垂直于弦的直径教学反思07-10

垂直于弦的直径说课稿02-20

垂直于弦的直径优质说课稿06-21

九年级上册垂直于弦的直径教学设计01-08

九年级上《垂直于弦直径》教学设计07-01

垂直于弦的直径的评课稿11-07

垂直于弦的直径同课异构的评课稿11-08

垂直于弦的直径同课异构评课稿11-02