八年级数学全等三角形及其性质教学计划

时间:2021-07-10 18:39:10 教学计划 我要投稿

八年级数学全等三角形及其性质教学计划

  教学目标:

八年级数学全等三角形及其性质教学计划

  1.(1)掌握角平分线的尺规作图方法;理解过直线上一点作这条直线的垂线的尺规作图原理;(2)理解并掌握角的平分线的性质定理。(3) 会运用角平分线的性质进行推理论证,解决相关的几何问题;(4)进行数学活动的过程中,能进行有条理地思考,形成简单的推理能力; (5)使学生经历探索角平分线的性质的过程,领会用操作、归纳、推理论证得出数学结论的思想方法。

  教学重点:角平分线的尺规作图及角平分线的性质及其应用。

  教学难点:角平分线的尺规作图方法的提炼与角平分线性质的灵活应用。

  教学过程:

  活动一、知识回顾

  1、不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?再打开纸片 ,看看折痕与这个角有何关系?

  2、请叙述角平分线的定义。

  活动二、情景引入

  如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?

  证明:在△ACD和△ACB中

  AD=AB(已知)

  ∵ DC=BC(已知)

  CA=CA(公共边)

  ∴ △ACD≌△ACB(SSS)

  ∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应角相等)

  ∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)

  活动三、新知探究

  一、根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器,要求尺规作图)

  二、怎样用尺规作图方法作已知直线的垂线?(过这条直线上一点)

  (1)平分平角∠AOB(如下图所示)

  (2)通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?

  (3)结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

  三、探究角平分线的性质

  1、已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,PD与PE有何关系?并证明。

  解:PD与PE相等。证明如下:

  ∵OC平分∠AOB(已知)

  ∴∠1=∠2 (角平分线的定义)

  ∵PD⊥OA,PE⊥OB (已知)

  ∴∠PDO=∠PEO (垂直的定义)

  在△PDO和△PEO中

  ∠PDO=∠PEO (已证)

  ∵ ∠1=∠2 (已证)

  OP=OP (公共边)

  ∴△PDO≌△PEO (AAS)

  ∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)

  2、由此得到角平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等。

  3、利用此性质怎样书写推理过程?

  ∵OC平分∠AOB,点P在OC上,且 PD⊥OA于D,PE⊥OB于E

  ∴PD=PE(角的平分线上的点到角两边的距离相等)

  活动四、例题讲解

  例。已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

  求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等

  证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,

  垂足为D、E、F

  ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上

  ∴PD=PE (角平分线上的点到角的两边的距离相等)

  同理:PE=PF.∴ PD=PE=PF.

  即点P到边AB、BC、CA的距离相等

  活动五、实践应用

  1.如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:CF=EB

  分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.

  现已有一个条件BD=DF,还需要我们找什么条件?

  注意到题设条件:AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E, ∠C=90°故有:DC=DE (角平分线的性质)

  进而可用HL证明上述两个直角三角形全等

  证明:∵∠C=90°∴DC⊥AC

  又∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E

  ∴∠DEB=90°,DC=DE(角平分线的性质)

  在Rt△CDF和Rt△EDB中

  DF=DB(已知)

  ∵

  DC=DE(已证)

  ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)

  ∴ CF=EB(全等三角形的对应边相等)

  2、已知:如右下图,在△ABC中,AD是它的.角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

  求证:EB=FC.

  证明:∵AD是△ABC的角平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F

  ∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义)

  DE=DF(角平分线的性质)

  在Rt△DEB和Rt△DFC中

  BD=CD

  ∵

  DE=DF

  ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)

  ∴EB=FC(全等三角形的对应边相等)

  3.已知:如图,△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P.

  求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。

  证明:作PF⊥BC于F,PG⊥AB于G,PH⊥AC于H.

  又∵△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P

  ∴PG=PF , PF=PH(角平分线的性质)

  即PG=PF=PH

  ∴点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。

  活动六、归纳总结

  1、定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

  2、定理的使用形式:

  ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)

  ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。

  尺规作图:①作已知角的平分线;②过直线上一点作这条直线的垂线。

  作业布置: 1.预习课本P21~P23

  2.完成课本P22T2,P23T4,5

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